正态分布，也称为高斯分布，是一种在统计学和概率论中非常重要的连续概率分布，它以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯命名，因为他在天文学研究中首次使用了这种分布形式来描述误差的分布，正态分布在自然界和社会现象中无处不在，从身高、智商到股市的价格波动，都能找到其身影，正态分布究竟有哪些性质呢？让我们一探究竟。

对称性

正态分布的一个显著特征是它的对称性，正态分布的概率密度函数（PDF）关于均值（μ）对称，这意味着如果将整个分布图沿着均值线对折，左右两侧的图形会完全重合,这种对称性使得正态分布成为自然界和社会科学中最常见的分布类型之一。

钟形曲线

正态分布的概率密度函数呈现出一个典型的“钟形”曲线形状，这也是它被称为正态分布的原因之一，曲线的最高点位于均值处，即μ的位置，当数据点远离均值时，曲线逐渐下降，但永远不会触及x轴，这种形状保证了大部分数据点集中在均值附近,而极端值则相对较少。

68-95-99.7规则

正态分布的一个非常有用的性质是所谓的“68-95-99.7规则”，它描述了在一定置信水平下，数据落在均值±标准差范围内的概率。

• 约68%的数据点落在均值±1个标准差（σ）的范围内。
• 约95%的数据点落在均值±2个标准差的范围内。
• 约99.7%的数据点落在均值±3个标准差的范围内。

这个规则对于理解数据的集中趋势和分散程度非常有用,也是质量控制和风险管理中的重要工具。

方差和标准差

正态分布的另一个关键性质是它完全由两个参数决定：均值μ和标准差σ，均值μ表示分布的中心位置，而标准差σ则衡量了数据点围绕均值的分散程度，标准差越大，分布越宽广；标准差越小，分布越集中，正态分布的标准差决定了其形状的“胖瘦”。

累积分布函数（CDF）

正态分布的累积分布函数（CDF）描述了随机变量小于或等于某个特定值的概率，由于正态分布的对称性和钟形曲线形状，其CDF可以通过标准化转换为标准正态分布（均值为0，标准差为1）的CDF来计算，这使得正态分布在统计分析中非常实用,因为它可以简化许多复杂的计算过程。

应用广泛

正态分布在各个领域都有广泛的应用，在自然科学中，它用于描述物理量的测量误差；在社会科学中，它用于分析人口统计数据；在工程学中，它用于质量控制和可靠性分析；在金融领域，它用于评估风险和定价资产，正态分布在假设检验、置信区间估计以及回归分析等统计方法中都扮演着核心角色。

正态分布以其独特的对称性和钟形曲线形状，以及通过均值和标准差两个参数即可完全描述的特性，成为了统计学中最基本也是最重要的一种概率分布，它的广泛应用和强大的数学性质，使其成为理解和分析现实世界复杂现象的强大工具，无论是科学家、工程师还是分析师,掌握正态分布的基本性质都是进行有效数据分析的基础。