离散型随机变量方差怎么求

在统计学中，方差是衡量一组数据分散程度的重要指标，对于离散型随机变量而言，方差的计算方法与连续型随机变量有所不同,本文将详细介绍离散型随机变量方差的求解过程。

方差的定义

我们需要明确方差的定义，对于一组数据 ( X = {x_1, x_2, \ldots, x_n} )，其方差 ( Var(X) ) 表示数据点与平均值之间的偏离程度,计算公式为：

[ \text{Var}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 ]

( \mu ) 是数据的平均值，即 ( \mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i )。

离散型随机变量的方差

对于离散型随机变量 ( X ),其方差定义为：

[ \text{Var}(X) = E\left((X - E(X))^2\right) ]

这里，( E(X) ) 表示随机变量 ( X ) 的期望值（或数学期望），而 ( E\left((X - E(X))^2\right) ) 则是 ( X ) 与其期望值之间差的平方的期望值。

具体求解步骤

1. 计算期望值：首先需要计算随机变量 ( X ) 的期望值 ( E(X) )。

   ( X ) 的概率分布为 ( P(X = x_i) = p_i ),则期望值为：

   [ E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i ]

2. 计算每个可能值与期望值之差的平方：计算每个可能的值 ( x_i ) 与期望值 ( E(X) ) 之差的平方，即 ( (x_i - E(X))^2 )。

3. 求期望：将这些差的平方乘以各自的概率 ( p_i )，并求和,得到：

   [ E\left((X - E(X))^2\right) = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i ]

4. 取平均值：由于方差的定义要求除以样本数量（对于无限总体）或样本大小（对于有限总体），因此最终结果需要除以样本大小 ( n )（如果已知）。

   

示例说明

假设有一个离散型随机变量 ( X ),其概率分布如下：

1. 计算期望值：

[ E(X) = 1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.3 = 0.1 + 0.4 + 1.2 + 1.2 = 2.9 ]

2. 计算差的平方：

[ (1 - 2.9)^2 = (-1.9)^2 = 3.61 ] [ (2 - 2.9)^2 = (-0.9)^2 = 0.81 ] [ (3 - 2.9)^2 = (0.1)^2 = 0.01 ] [ (4 - 2.9)^2 = (1.1)^2 = 1.21 ]

3. 求期望：

[ E\left((X - E(X))^2\right) = 3.61 \cdot 0.1 + 0.81 \cdot 0.2 + 0.01 \cdot 0.4 + 1.21 \cdot 0.3 = 0.361 + 0.162 + 0.004 + 0.363 = 0.89 ]

4. 取平均值（假设样本大小为1）：

[ \text{Var}(X) = 0.89 ]

通过上述步骤，我们得到了离散型随机变量 ( X ) 的方差为0.89。